Sistem Bilangan dan Himpunan

Sistem Bilangan

Kelompok bilangan yang sederhana dan paling sering digunakan adalah kelompok bilangan bulat positif (1, 2, 3, ....) dan kelompok bilangan bulat negatif seperti (.... -3, -2, -1). Kedua kelompok bilangan tersebut beserta bilangan nol (yang sering juga disebut bilangan unik) kita sebut bilangan bulat atau integer.

Di samping itu, juga kita kenal kelompok bilangan pecahan negatif maupun positif, seperti :

• Bilangan Rasional, merupakan kelompok bilangan pecahan (baik yang positif maupun negatif) bersama-sama dengan kelompok bilangan bulat (....., ±1/3, ±1/2, ±1/1 ..... ), karena setiap bilangan bulat n pada hakekatnya juga dapat dinyatakan sebagai rasio antara dua bilangan bulat seperti halnya bilangan pecahan, sebagai bilangan pecahan atau rasional n/1.
• Bilangan Irasional, merupakan bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi antar dua bilangan bulat. Misalnya : √2, √3, √5, .... dan  π (22/7) serta e = 2,718 merupakan bilangan irasional.
• Kelompok bilangan nyata (real), merupakan kelompok gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
• Bilangan Imajiner atau bilangan tidak nyata, merupakan atau biasa disebut bilangan kompleks. Contoh bilangan imajiner adalah akar bilangan negatir   

• ---

  Operasi pada Bilangan Real

  Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
• Operasi Penjumlahan

Contoh:

1. 4 + 6  = 10

2. 4 + (-6 ) = -2

• Operasi Pengurangan

Contoh:

1. -6 – 5 = -6 + (-5) = -11

2. 3 -6 – 4 = -6 + (-4) = -10

• Operasi Perkalian

Contoh:

1. 6 x 5 = 30

2. 6 x (-4) = -24

3. (-6) x (-4) =  24

• Operasi Pembagian

Contoh:

1. 12 : 2 = 6

2. 12 : -2 = -6

3.  (-12) : (-2) = 6

---

Himpunan

Himpunan adalah suatu daftar, koleksi atau kelas objek-objek yang mempunyai sifat atau ciri-ciri tertentu. Objek dalam suatu himpunan dapat berupa bilangan, orang, kota, dan lain sebagainya yang memiliki sifat atau ciri-ciri yang sama. Sifat tersebut berguna untuk membedakan apakah suatu objek itu meupakan anggota himpunan tersebut atau bukan. Pada umumnya himpunan ditulis dengan huruf besar (A, B, C, D,.....) dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil (a, b, c, d,...).

Himpunan ditulis diantara dua kurung {.....} dan dapat disajikan dengan 2 cara yaitu:

1. mendaftarkan anggota-anggotanya; dan
2. menyatakan sifat anggota-anggotanya.

• A adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 10 dan ditulis A = {1, 3, 5, 7, 9}
• B adalah himpunan bilangan genap kurang dari 20 ditulis B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,18} dan ditulis B = {xIxbilangan genap kurang dari 20}
• C adalah himpunan mahasiswa dan ditulis C = {Dani, Agha, Gita, Ayu}
• D adalah himpunan kota dan ditulis D = {Purwokerto, Purbalingga, Cilacap, kebumen}
• Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis {}
• Himpunan bagian sejati adalah himpunan yang merupakan himpunan bagian dari namun tidak sama dengan ditulis A himpunan bagian B dan A tidak sama dengan B.
• Himpunan keluarga anggota suatu himpunan yang merupakan himpunan. A = {{1, 5}, {5}, {7, 8}}
• Himpunan semesta adalah himpunan dari semua himpunan.
• Himpunan kuasa adalah keluarga semua himpunan bagian dari suatu himpunan. A = {a, b} maka ditulis A = { A, {a, b}, {a}, {b}, himpunan kosong}
• Himpunan saling asing adalah tidak adanya anggota himpunan bagian yang berserikat. yaitu tidak terdapat anggota himpunan A menjadi anggota B dan sebaliknya.
• Produk Cartesius adalah himpunan semua pasangan berurutan ditulis dengan A X B. A = {1, 2} dan B = {3, 4, 5} maka AXB = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3) , (2, 4), (2, 5)}

Suatu Himpunan dapat dikatakan berhingga dan tak berhingga:

• Himpunan dikatakan berhingga jika bamyaknya anggota-anggotanya berhingga (memiliki batas tertentu) {1, 3, 5, 7, 9}
• Himpunan dikatakan tak berhingga jika banyaknya anggota-anggotanya tak berhingga (tidak memiliki batas) {1, 2, 3, 4, 5.....}