Tugas 2 Hubungan dan Fungsi

Relasi atau hubungan

Relasi yaitu hubungan antara anggota pada suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lainya. Relasi dari himpunan A ke himpunan B ialah menghubungkan anggota-anggota himpunan A pada anggota-anggota himpunan B.

Cara Menyatakan Relasi
Relasi dua himpunan A dan himpunan B bisa dinyatakan dengan 3 cara yaitu :

Diagram panah
Diagram cartesius
Himpunan pasangan berurutan.

1. Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P ber relasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal itu ditunjukkan dengan arah panah. Oleh sebab itu, diagramnya disebut diagram panah.
Contoh :

2. Diagram Cartesius

Diagram Cartesius merupakan diagram yang terdiri dari sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu x, sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu y Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah ataupun titik.
Contoh :

3. Himpunan Pasangan Berurutan

Sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya bisa disajikan pada bentuk himpunan pasangan berurutan. Cara penulisannya yaitu anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.
Contoh :

{(Rani, basket)}, {(Rani, bulu tangkis)}, {(Dian, basket)}, {(Dian, atletik)}, {(Isnie, senam)}, {(Dila, basket)}, {(Dila, tenis meja)}

Jenis-Jenis Relasi

Relasi Simetrik
Relasi anti Simetrik
Relasi Transitif
Relasi Refleksif
Relasi Invers

1. Relasi Invers

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang apabila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sebagai berikut ; R-1= {(b,a) : (a,b)R}
Contoh:
A = {1,2,3} B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

2. Relasi Simetrik

Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika tiap (a,b)R berlaku (b,a)R. Dengan istilah lain, R disebut juga relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.
Contoh Relasi Simetrik :
perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

3. Relasi Refleksif

Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika tiap-tiap anggota pada A berelasi dengan dirinya sendiri
Contoh :
Relasi Refleksif Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} Apakah R relasi refleksif ? R bukan relasi refleksif, karna (2,2) tidak termasuk dalam R. Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1 merupakan relasi refleksif.

4. Relasi anti Simetrik

Suatu relasi R bisa disebut relasi anti simetrik andai (a,b)R dan (b,a)R maka a=b. Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh :
Misalkan R suatu relasi pada himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R merupakan relasi anti simetrik sebab jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.
Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1.

5. Relasi Transitif

Misalkan R relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R. Dengan kata lain andai a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.
Contoh :
Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R. dilengkapi agar R menjadi relasi transitif R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

Fungsi

fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:

$f:A \rightarrow B$

Dengan:

A disebut domain (daerah asal) dinotasikan $D_f$
B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan $K_f$
${y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A}$ disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan $R_f$

Sebagai contoh:

Contoh 1	Contoh 2	Contoh 3

Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B	Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B	Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi surjektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau $R_f = B$ , atau setiap $y \epsilon B$ terdapat $x \epsilon A$ sedemikian sehingga $f(x) = y$ . Contoh:

Fungsi Into

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.
Contoh:

Fungsi Injektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.
Contoh:

Fungsi Bijektif

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.
Contoh:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.
Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa $f(x)$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .
Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan $g o f$ sehingga:

$(g o f)(x) = g(f(x))$

dengan syarat: $R_f \cap D_g \not= {\O}$ .

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ , dan $h:C \rightarrow D$ , maka $h o g o f:A \rightarrow D$ dan dinyatakan dengan:

$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:
Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif $(g o f)(x) \not= (f o g)(x)$
Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$
Contoh:
Jika $f(x) = 2x + 3$ dan $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$ , maka g(x) adalah

$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$

$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$

$g(x) = x^2 + 3x - 5$

Fungsi Invers
Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ memiliki relasi dengan fungsi $g:B \rightarrow A$ , maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis $f^{-1}$ atau $g = f^{-1}$ . Jika $f^{-1}$ dalam bentuk fungsi, maka $f^{-1}$ disebut fungsi invers.

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi $y = f(x)$ dapat ditempuh dengan cara berikut:
Ubah persamaan $y = f(x)$ ke dalam bentuk $x = f(y)$
Gantikan x dengan $f^{-1}(y)$ sehingga $f(y) = f^{-1}(y)$
Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa $f^{-1}$
Contoh:
Menentukan invers dari $=x^2 - 2x + 4$ :

$y = [x^2 - 2x + 4$

$y = (x - 1)^2 + 3$

$(x - 1)^2 = y - 3$

$x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}$

$x = \pm \sqrt{y -3 + 3}$

Sehingga inversnya adalah
$f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1}$ dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

JENIS FUNGSI	f(x)	$f^{-1}(x)$
Fungsi linier	$f(x) = ax + b$	$f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$
Fungsi pecahan linier	$f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}$	$f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$
Fungsi Irrasional	$f(x) =\sqrt[n]{ax+b}$	$f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}$
Fungsi eksponen	$f(x) = a^x$	$f^{-1}(x) = ^a\log x$
Fungsi logaritma	$f(x) = ^a\log x$	$f^{-1}(x) = a^x$

Contoh

JENIS FUNGSI	$f(x)$	$f^{-1}(x)$
Fungsi linier	$f(x) = 2x+3$	$f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$
Fungsi pecahan linier	$f(x) = \frac{2x+3}{4x+5}$	$f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}$
Fungsi Irrasional	$f(x) = \sqrt[4]{2x+3}$	$f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}$
Fungsi eksponen	$f(x) = 2^x$	$f^{-1}(x) = ^2\log x$
Fungsi logaritma	$f(x) = ^2\log x$	$f^{-1} = 2^x$

Invers dari Fungsi Komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = 3x - 5$ , dan $h(x) = x =1$ .
Jika $f^{-1},g^{-1},h^{-1}$ adalah invers fungsinya yaitu $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ , $g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}$ , dan $h^{-1}(x) = x - 1$ , maka dirumuskan beserta contohnya:

$(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$

$(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))$

$(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}$

$(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$

$(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))$

$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}$

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

Jika diketahui $g(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)$
Jika diketahui $f(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)$
Jika diketahui $f(x)$ , $g(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $(f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))$
Jika diketahui $f(x)$ , $h(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))$