Tugas 8 Aplikasi Turunan

APLIKASI TURUNAN : GARIS SINGGUNG

Materi turunan dalam Matematika memiliki sub bab mengenai persamaan garis singgung suatu kurva, maka materi ini pasti akan di temui jika sedang mengulas mengenai turunan.

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

• gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
• gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
• gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x₂,y₂) maka untuk mencari gradien garisnya  m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

• jika saling sejajar maka m₁=m₂
• jika saling tegak lurus maka m₁.m₂=-1 atau m₁=-1/(m₂)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x₁, y₁) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x₁). Sementara itu x₁ dan y₁ memiliki hubungan y₁ = f(x₁). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y₁ = m (x – x₁).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan
                    y - y₁ = m (x - x₁)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3)
Jawab:
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 7x² + 20 di titik yang berabsis 2?

Jawab :
x = 2
y = x⁴ – 7x² + 20 = y = 2⁴ – 7.2² + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x³ – 14 x = 4.2³ – 14.2 = 32 – 28 = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18?

Jawab:
Ordinat adalah nilai y, maka y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2
m = y’ = 3x² = 3.2² = 12
Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16

4.. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ – 20 yang sejajar    dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab:

y = 3x⁴ – 20          y’ = 12x³

Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah y = 12x + 8
maka gradien garis ini adalah m₁ = 12

Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m₂) adalah m₂ = m₁ = 12

gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga y’ = 12

12x³ = 12           x³ = 1          x = 1

maka y = 3x⁴ – 20 = 3 – 20 = – 17

Persamaan garis singgungnya adalah y – y₁ = m (x – x₁)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29

 

MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI

(MAXIMIZATION ATAU MINIMIZATION) :

A FREE OPTIMUM

1.      Pengertian dan persyaratan Global maximum atau Global minimum, Relative maximum atau Relative minimum :

      Dengan fungsi dari 1 (satu) independent variable  y = f (x)

þ  Dependent variable dari fungsi merupakan the objective function yaitu obyek dari maksimisasi (maximization) atau minimisasi (minimization).

Maximization atau minimization menetapkan angka atau bilangan dari independent variables sehingga diperoleh angka atau nilai the objective function atau dependent variable tertinggi (maximum) atau terendah (minimum). Karena itu, independent variables juga disebut sebagai choice variables.

þ  Istilah :

µ  Baik global maximum atau minimum, maupun relative maximum atau minimum, disebut extremum (diagram di bawah). 

       

µ     Titik extremum disebut stationary point. Sedangkan angka atau nilai extremum dari fungsi atau dependent variable atau the objective function disebut a critical value atau stationary value. Selain itu, the slope dari the objective function pada titik extremum adalah 0 (nol).

µ Global (absolute) maximum adalah titik atau angka tertinggi dari the objective function atau dependent variable. Contoh, titik  A  pada fungsi  z = g(w) di Diagram 1. (a) di atas.

µ Sedangkan, global (absolute) minimum merupakan titik atau angka terendah. Contoh titik  B  pada fungsi  h = k(m) di Diagram 1. (a) atas.  

µ Relative (local) maximum adalah titik atau angka maximum di sekitar titik itu pada the objective function. Sedangkan, relative (local) minimum adalah titik atau angka minimum di sekitar titik itu pada the objective function.

   

  Diantara 4 extremums pada diagram 1. (b)  di atas, maka :

·     Titik E adalah a global (absolute or free) maximum, sedangkan titik G adalah local (relative) maximum.

·     Titik F adalah a global minimum, sedangkan titk D adalah local minimum.

þ  Persyaratan untuk extremum dan inflection point : Dengan fungsi dari 1 (satu) independent variable)  y = f (x)  

PERSYARATAN	EXTREMUM (Global/Absolute and Local/Relative)		Inflection Point
	Maximum	Minimum
Necessary Condition, or, First Order Condition (FOC) → (First Derivative Condition)	f ' = 0	f ' = 0	f ' = 0
Sufficiet Condition, or, Second Order Conditi-on (SOC) → (Second Derivative Condition) :*) a.  SOC necessary b.  SOC sufficient	f" ≤ 0 f” < 0	f" ≥ 0 f” > 0	)     )   f” = 0 )
*)  SOC bahwa f” negative (< 0) / positif (> 0) pada nilai kritikal (the critical value) x0 adalah cukup (sufficient) untuk relative maximum/relative minimum, merupakan hal yang tidak perlu (necessary).       Oleh karena itu, kehati-hatian diperlukan atas dasar kenyataan bahwa relative maximum/relative minimum dapat terjadi tidak hanya apabila f” negative (< 0) / positif (> 0), tetapi juga apabila f ' = 0.       Dengan demikian, SOC necessary harus dinyatakan dengan weak inequalities f ₺ ≤ 0) / ≥ 0. Lihat C & W (Book 1) Ch. 9 hal 235.
Ingat : 1.  Untuk the first derivative: a.  f ' > 0  → berarti nilai fungsi (the value of the function) akan meningkat. b.  f ' > 0  → berarti nilai fungsi (the value of the function) akan menurun.. 2.  Untuk the second derivative : a.  f” > 0  → berarti the slope of the function or the curve akan meningkat. b.  f" > 0  → berarti the slope of the function or the curve akan meningkat .

þ  Catatan :

µ  Titik M dan N pada Diagram 1.(c) di atas, tidak dapat dianggap extremum karena pada kedua titik itu fungsi g = s(u) tidak kontinyu sehingga tidak terdapat derivatif dari fungsi g.

µ  Titik infleksi (inflection point) adalah titik dimana tidak terdapat extremum (maximum atau minimum). 

      Penjelasan inflection point :

Pada diagram di atas, titik J dan K disebut inflection point  karena tanda slope tidak berubah dari sebelum ke sesudah titik J atau K :

¥  Pada digaram 2.(a), walaupun mempunyai fungsi f(x) derivatif pada titik J = 0 atau f^∕ = 0, yang juga digambarkan dengan slope pada titik  J^∕ = 0. Tetapi tanda slope atau derivatif f^∕ tetap sama positif (slope +)  baik sebelum dan sesudah titik J dan J^∕.

Padahal syarat titik J menjadi extremum, apabila tanda slope berubah dari sebelum ke sesudah titik extremum J. Apabila titik  J  minimum, maka tanda slope berubah dari negatif untuk sebelum titik  J  menjadi positif untuk setelah titik J. Atau sebaliknya, apabila titik J.

¥  Pada Diagram 2. (b) di atas, derivatif atau slope fungsi g(x) pada titik  K tertinggi maximum (tidak sama dengan 0 (nol)) seperti terlihat pada titik K^∕. Tetapi slope atau derivatif atau f^∕ sebelum titik K naik (+) tajam dan setelah titik K tetap naik (+) tetapi dengan melandai atau menurun.

2.      Contoh Maximisasi dan Minimisasi dengan fungsi dari 1 (satu) Independent variable

þ  Minimisasi dari fungsi  y = f(x) = 4 x² − x 

      dimana kurva berbentuk U (U-shaped curve)

µ  Syarat :

ü  The first order condition (FOC)  atau  necessary condition

  → maka :   8 x = 1 → berarti   x = ⅛

ü  The second order condition (SOC) atau sufficient condition:

           > 0

ü  Karena  SOC terpenuhi yaitu > 0 atau ≠ 0 tapi pisitif, maka nilai minimum dari fungsi atau dependent variable (the stationary value pada x = ⅛, yaitu 

      y = 4.(⅛)² − ⅛ = − 1/16

   

þ  Maximisasi laba

µ  Teori dan diagram

Laba (Π)  =  Total Penerimaan (Total Revenue or TR) −

                                  − Total Biaya (Total Costs or TC)

                        

             Π  =  TR − TC  yang merupakan fungsi dari

                            volume jual dan produksi (Q), jadi :

              

             Π (Q)  =  TR (Q) − TC (Q)

ü  Syarat :

►      FOC :   ,   berarti :    

            MR = MC,   atau :  slope TR = slope TC,

            atau slope TR sejajar dengan slope TC

►      , berarti, (MR − MC ) < 0,  atau, 

                               MR < MC   

ü  Diagram maksimisasi laba (profit maximization)

                 TR (Q) = 1,200 Q − 2 Q²

TC (Q) = Q³ − 61,25 Q² − 1.528,5 Q + 2.000

                  (Q) = TR − TC

           = {1,200 Q − 2 Q²} − { Q³ − 61,25 Q² − 1.528,5 Q + 2.000}

           =  − Q³ + 59,25 Q² − 328,5 Q − 2.000

                      

ü   FOC :    → cek bahwa

     persamaan FOC hasil dari MR = MC

     Dengan rumus abc diperoleh  Q = 3 atau Q = 36.5

    

ü   SOC :   

ü   Karena maximum mensyaratkan  SOC < 0,  maka maksimum profit () terjadi pada  Q = 36.5

þ  Minimisasi biaya (costs)

TC (Q) = Q³ − 61,25 Q² − 1.528,5 Q + 2.000

µ FOC :   

Dengan rumus abc diperoleh  Q = 60.4 atau Q = − 303.4

µ SOC :  

µ Karena minimum mensyaratkan  SOC > 0, maka minimum costs terjadi pada  Q = 60.4

þ  Cari Q untuk maksimum fungsi TR (Q) di atas.