Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan
hanyadijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks
bujursangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai
matriks singular.Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka
matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks
non-singular, secara linear tidak tergantung (saling independent)
Determinan mariks ordo 2 x 2
Determinan ordo 3 x 3
Untuk matriks yang berordo lebih tinggi (matriks 3×3), cara untuk mendapatkan determinannya adalah dengan cara :
a. Metode Sarrus.
Menghitung Determinan Matriks 3×3 dengan Aturan Sarrus
Diberikan matriks A3×3
sebagai berikut :
A=⎡⎣⎢2−31−1041−21⎤⎦⎥
Dengan menggunakan aturan sarrus, tentukan determinan matriks A
b. Minor dan Kofaktor
Dapat dibentuk suatu sub determinan dari matriks yang disebut sebagai
minor. Sehingga Minor [ M ] adalah determinan dari submatriks yang
dibentuk dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks
tersebut.
Apabila suatu minor diberi tambahan tanda (-1)i+j, maka disebut kofaktor [ C ].
2. Sifat-sifat Determinan
Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :
a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (At).
b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan noldari suatu
baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada
determinan.
c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu
matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari
determinan.
d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangularmatriks), yaitu
matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonalutama,
adalah sama dengan hasil kali dari elemen-elemen dari diagonal utama.
e. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol,determinan adalah nol.
f. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional,yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.
3. Ekspansi Laplace
Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.
Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
Tanda-tanda kofaktor secara berurutan adalah :
4. Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoint
Matriks kofaktor adalah suatu matriks dimana setiap elemen aij diganti dengan kofaktornya , sehingga disebut matriks kofaktor. Matriks adjoint adalah transpose dari suatu matriks kofaktor.
5. Matriks Balikan (invers)
1.Mencari Invers dengan Matriks Adjoint
Inverse Matriks (matriks balikan) A-1 hanya dapat ditemukan pada suatu matriks bujur sangkar, dan non singular. Dimana harus memenuhi suatu hubungan AA-1= I = A-1A
Dimana rumus untuk memperolah balikan dari matriks adalah :
2. Mencari Invers dengan transformasi Elementer
Misalnya ada suatu Matriks, Matriks A, dengan rank r, dengan
transformasi elementer dapat diubah bentuknya menjadi matriks yang
disebut matriks normal.
Untuk mengubah matriks Amenjadi matriks normal maka diusahakan mengubah elemen dibawah diagonal a11,a22 dan a33
menjadi nol dengan transformasi elemen baris.Dilanjutkan dengan
transformasi kolom agar elemen-elemen diatas diagonal tersebut menjadi
nol.
Tentukanlah Invers dari data dibawah ini : Jawaban : Pertama, Kita harus cari adjoinnya dengan menggunakan cara cepat. Kedua,
Melalui cara yang singkat ini kita hanya tinggal memindakan atau
menukar posisi elemen yang berada dalam baris pertama kolom pertama
dengan baris ke-2 kolom ke-2. Kemudian elemen baris pertama kolom ke-2
dan elemen baris kedua kolom pertama dikali dengan (-1)
Maka menjadi adjoin matriks di atas menjadi : Ketiga, Langkah ketiga ialah kita tinggal mencari determinan matriks yakni : Deteriminan = (1 x 4) – (2 x 3) = 4 – 6 = -2
Sehingga invers dari matriks di atas yaitu :
Komentar
Posting Komentar