Tugas 14 Integral lanjutan

Integrasi pecahan parsial

Misalkan kita harus mengintegrasi

Jelas integral ini bukanlah salah satu dari tipe standar yang sudah kita pelajari, dan pembilangnya bukanlah turunan dari penyebutnya. Jadi bagaimana kita dapat menyelesaikannya?

Dalam kasus ini, pertama kali kita tulis pecahan aljabar yang agak rumit ini ke dalam bentuk pecahan-pecahan parsialnya, yaitu sejumlah pecahan aljabar yang lebih sederhana yang akan dapat diintegralkan secara terpisah tanpa kesulitan. Sebenarnya,

dapat ditulis sebagai

Metode ini tentu saja, bergantung kepada kemampuan kita untuk menuliskan fungsi yang bersangkutan ke dalam bentuk pecahan parsial.

Aturan-aturan dari pecahan parsial adalah sebagai berikut:

Pembilang dari fungsi yang diberikan harus memiliki derajat yang lebih rendah daripada penyebutnya. Jika tidak demikian, maka pertama-tama bagilah dengan menggunakan pembagian panjang.
(a) Faktorkan penyebutnya menjadi faktor-faktor prima. Ini penting, karena faktor-faktor yang diperoleh akan menentukan bentuk dari pecahan parsial.
(b) Faktor linear menjadi pecahan parsial berbentuk
(c) Faktor menjadi pecahan parsial
(d) Faktor menjadi pecahan parsial
(e) Faktor kuadratik menjadi pecahan parsial

Salinlah aturan-aturan ini ke dalam buku catatan Anda untuk referensi. Hal itu akan sangat bermanfaat.

Contoh 1

Kalikan kedua ruas dengan penyebut (x - 1)(x - 2):

Persamaan ini merupakan identitas dan benar untuk semua nilai x yang ingin kita substitusikan. Jika mungkin, pilihlah satu nilai x yang akan membuat salah satu dari tanda-tanda kurungnya menjadi nol.

Misalkan (x - 1) = 0; artinya substitusikan x = 1.

Misalkan (x - 2) = 0; artinya substitusikan x = 2.

Jadi integralnya sekarang dapat ditulis .......

Sekarang sisanya akan mudah

Contoh 2

Untuk menentukan

Pembilang = derajat kedua; penyebut = derajat ketiga. Aturan (a) dipenuhi.

Penyebut sudah difaktorkan menjadi faktor-faktor primanya. Aturan (b) dipenuhi.

Hilangkan penyebut-penyebutnya:

Misalkan (x - 1) = 0, maka x = 1

Misalkan (x + 1) = 0, maka x = -1

Setelah substitusi-substitusi ini selesai, kita dapat mencari konstanta-konstanta sisanya (dalam kasus ini, hanya B) dengan cara menyamakan koefisien-koefisien. Pilihlah pangkat yang paling tinggi, yaitu x2 dalam contoh ini.

Contoh 3

Untuk menentukan

Aturan-aturan (a) dan (b) dari pecahan parsial terpenuhi. Tahap berikutnya adalah menuliskannya dalam bentuk pecahan parsial.

Sekarang hilangkan penyebut-penyebutnya dengan mengalikan kedua ruas dengan (x + 2)3. Jadi diperoleh:

x2 + 1 = .......

Sekarang kita tetapkan (x + 2) = 0, maka x = -2

Dalam identitas ini tidak terdapat kurung yang lain, jadi sekarang kita samakan koefisien-koefisiennya, dimulai dengan pangkat tertinggi, yaitu x2. Apakah yang kita dapatkan?

Karena

Sekarang kita samakan koefisien pangkat yang paling rendah, dalam hal ini adalah suku konstanta (atau suku-suku absolut) pada kedua ruas:

[suku konstanta]

Contoh 4

Untuk mencari

Dalam contoh ini terdapat faktor kuadratis yang tidak dapat difaktorkan lagi

Misalkan (x - 2) = 0, atau lebih tepatnya x = 2

Samakan koefisien-koefisiennya

CT = Constant Terms (suku konstanta)

Berikut ini satu soal lagi untuk Anda kerjakan sendiri.

Contoh 5

Tentukanlah

Aturan-aturan (a) dan (b) dipenuhi, dan bentuk pecahan parsialnya adalah

Periksalah pekerjaan Anda dengan teliti

Misalkan (2x - 1) = 0, dengan kata lain, x = 1/2

Kita telah mempelajari beberapa integral dari satu atau beberapa tipe dalam studi kita sampai saat ini. Kita telah mempelajari:

Integral standar yang dasar
Funsi dari suatu fungsi linear dalam x
Integral yang salah satu bagiannya adalah turunan dari bagian yang lain
Integrasi per bagian, yaitu integrasi hasilkali
Integrasi dengan pecahan parsial

Integral Tertentu

Landasan dasar mengenai integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh seorang ilmuan terkenal yaitu Newton dan Leibinz yang kemudian diperkenalkan lebih lanjut secara modern oleh Riemann.
Pengertian Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Didalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas-batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.

Mengenal Beberapa Sifat dan Rumus Integralnya
Dibawah ini adalah sifat-sifat dari operasi integral, yaitu:

Rumus Dasar Integral

Contoh Soal Integral
Contoh 1:

Pembahasannya:

Contoh 2:

Pembahasannya:

Luas daerah yang beraturan dapat dihitung menggunakan rumus yang sudah ditentukan, lalu bagaimana untuk luas daerah yang tidak beraturan? Solusinya adalah menghitung luas daerah dengan integral. Misalnya, luas persegi dapat dicari dengan menggunakan rumus sisi x sisi, persegi panjang dapat dicari dengan menggunakan rumus panjang x lebar, sedangkan luas yang dibatasi oleh kurva x² dan garis y = x dapat dihitung dengan menggunakan integral.

Sebelum mengulas aplikasi integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva lebih lanjut, sebaiknya sobat idschool sudah menguasai kemampuan dasar untuk menentukan hasil integral dari sebuah fungsi terlebih dahulu. Kemampuan yang harus dimiliki juga terkait menggambar fungsi, baik fungsi kuadrat, fungsi linear, dan lain sebagainya. Hal ini akan memudahkan sobat idschool untuk menyelesaikan soal mencari luas daerah yang dibatasi kurva.

Simak ulasan pertama mengenai luas daerah yang dibatasi sebuah kurva pada pembahasan di bawah.

Luas Daerah yang Dibatasi Sebuah Kurva
Luas suatu daerah yang dibatasi sebuah kurva dapat dicari menggunakan rumus integral. Pehatikan gambar luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dan rumus integral untuk mencari luas daerah tersebut di bawah!

Selain rumus integral untuk mencari luas daerah yang dibatasi kurva yang telah diberikan di atas, terdapat juga aturan penggunaan rumus integral. Berikut ini adalah aturan penggunaan aturan integral dalam mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva.
Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) pada selang a dan b di atas sumbu x

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) pada selang a dan b di bawah sumbu x

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x)pada selang c dan d di kanan sumbu y

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x)pada selang c dan d di kiri sumbu y

Luas Daerah Diantara Dua Kurva
Pembahasan berikutnya adalah luas daerah yang dibatasi dua kurva. Cara menghitung luas daerah yang dibataasi dua kurva sama dengan cara menghitung luas daerah yang dibatasi sebuah kurva, pada pembahasan sebelumnya. Hanya saja, dalam mencari luas daerah yang dibatasi dua buah kurva, banyaknya fungsi yang terlibat ada dua, bahkan lebih.
Perhatikan gambar dan rumus untuk luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)

Berikut ini akan diberikan contoh soal dan pembahasan tentang menentukan luas daerah yang dibatasi dua buah kurva.
Tentukan luas yang dibatasi oleh garis y = −x + 2 dan y = x²
Jawab:
Pertama, yang perlu dikerjakan adalah melihat daerah yang dibatasi kurva dengan menggambarkan sketsanya, seperti gambar berikut ini.

Selanjutnya adalah menentukan batas atas dan batas bawah (titik perpotongan dua kurva).

Sehingga diperoleh nilai x = – 2 dan x = 1.
Jadi, luas yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = – x + 2 adalah

Keterangan: tanda negatif pada hasil akhir menujukkan bahwa pemisalan fungsi pertama dan kedua tidak tepat namun hasilnya tidak mempengaruhi nilai yang diperoleh, sehingga diambil nilai mutlak dari hasil akhirnya.
Untuk menambah pengetahuan sobat idschool mengenai luas daerah yang dibatasi kurva, simak contoh soal dan pembahasan lainnya yang akan diberikan di bawah.
Contoh 1 – Aplikasi Integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x² + 2x + 3 dan g(x) = 3 – x adalah … satuan luas.
A. 3
B. 4,5
C. 6
D. 7,5
E. 9
Pembahasan:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggambar fungsi f(x) dan g(x).
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggambar fungsi f(x) dan g(x).
Fungsi f(x) merupakan fungsi kuadrat sehingga bentuk grafiknya berupa parabola, jika belum bisa menggambar grafik fungsi kuadrat bisa dibuka melalui halaman ini.

Fungsi g(x) merupakan fungsi garis lurus, cara menggambar grafik lurus dapat dilihat di sini.

Gambar kedua fungsi dapat dilihat seperti berikut. Sebelumnya, akan dicari titik koordinat perpotongan fungsi f(x) dan g(x) terlebih dahulu. Caranya adalah sebagai berikut.
Titik potong kurva:

$x^{2} + 2x + 3 = 3 - x$

$x^{2} + 3x = 0$

$x \left( x + 3\right) = 0$
Diperoleh dua persamaan, yaitu x = 0 atau x + 3 = 0, sehingga

$x = 0 \rightarrow y = 3 - 0 = 3$
Atau

$x + 3 = 0$

$x = -3 \rightarrow y = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6$
Sehingga luas daerah yang dibatasi dua kurva seperti yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut.

Selanjutnya, kita akan menghitung luas daerah tersebut, dengan batas a = – 3 dan b = 0.

$L = \int_{-3}^{0} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx$

$= \int_{-3}^{0} \left( \left(x^{2} + 2x + 3 \right) - \left(3 - x \right) \right) \; dx$

$= \int_{-3}^{0} \left(x^{2} + 3x \right) \; dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} \right] _{-3}^{0}$

$= \left( \frac{1}{3} \left( 0\right)^{3} + \frac{3}{2}\left( 0\right)^{2} \right) - \left( \frac{1}{3} \left( -3 \right)^{3} + \frac{3}{2}\left( -3 \right)^{2} \right)$

$= 0 - \left( -9 + \frac{27}{2} \right)$

$= - \left( -\frac{18}{2} + \frac{27}{2} \right)$

$= - \left( -\frac{9}{2} \right) = 4, 5 \; \textrm{sat. luas}$